二次式

二次式と二次形式

一変数の二次式といえば $𝑎 𝑥^{2} + 𝑏 𝑥 + 𝑐$ の形をした式である。ただし、 $\frac{𝑏}{2}$ を $𝑏$ で置き直して、一次の項に係数 $2$ をつけた $𝑎 𝑥^{2} + 2 𝑏 𝑥 + 𝑐$ の形で考えることも多い。

$𝑁$ 変数 $𝒙 = (\begin{matrix} 𝑥_{1} \\ ⋮ \\ 𝑥_{𝑁} \end{matrix})$ の二次式は $𝑁$ 次正方行列 $𝐴$ と $𝑁$ 次ベクトル $𝒃$ 、スカラー $𝑐$ を用いてスカラー積 $\cdot$ により

𝐴 𝒙 \cdot 𝒙 + 2 𝒃 \cdot 𝒙 + 𝑐

の形で表される式である。ここで $𝑖, 𝑗 = 1, \dots, 𝑁$ に対して $𝑥_{𝑖} 𝑥_{𝑗} = 𝑥_{𝑗} 𝑥_{𝑖}$ であることから

𝐴 𝒙 \cdot 𝒙 + 2 𝒃 \cdot 𝒙 + 𝑐 = \frac{𝐴 + 𝐴^{𝖳}}{2} 𝒙 \cdot 𝒙 + 2 𝒃 \cdot 𝒙 + 𝑐

とできるため、 $𝐴$ は対称行列であると考えても差し支えない。

さらに二次式の中でも一次の部分 $2 𝒃 \cdot 𝒙$ と定数項 $𝑐$ がないものを二次形式と呼ぶ。つまり、 $𝑁$ 変数 $𝒙 = (\begin{matrix} 𝑥_{1} \\ ⋮ \\ 𝑥_{𝑁} \end{matrix})$ の二次形式は $𝑁$ 次対称行列 $𝐴$ を用いて

𝐴 𝒙 \cdot 𝒙

の形で表される式である。

二次式と平方完成

平方完成とは一変数の場合には $𝑎 \neq 0$ の時に

𝑎 𝑥^{2} + 2 𝑏 𝑥 + 𝑐 = {𝑎 (𝑥 + \frac{𝑏}{𝑎})}^{2} + 𝑐 - \frac{𝑏^{2}}{𝑎}

と変形することをいう。二次式の場合には以下の定理が成り立つ。

定理 1 (平方完成)

$𝐴$ を $𝑁$ 次対称正則行列で $𝒃, 𝒙$ を $𝑁$ 次ベクトル、 $𝑐$ をスカラーとする時、

𝐴 𝒙 \cdot 𝒙 + 2 𝒃 \cdot 𝒙 + 𝑐 = 𝐴 (𝒙 + 𝐴^{- 1} 𝒃) \cdot (𝒙 + 𝐴^{- 1} 𝒃) + 𝑐 - 𝐴^{- 1} 𝒃 \cdot 𝒃

が成り立つ。

例 2

3つの実数 $𝑢_{1}, 𝑢_{2}, 𝑢_{3}$ に対して

\begin{aligned} 𝐸 (𝑢_{1}, 𝑢_{2}, 𝑢_{3}) & = {(𝑢_{1} - 𝑢_{2})}^{2} + {(𝑢_{2} - 𝑢_{3})}^{2} + {(𝑢_{3} - 𝑢_{1})}^{2} \\ = 2 𝑢_{1}^{2} + 2 𝑢_{2}^{2} + 2 𝑢_{3}^{2} - 2 𝑢_{1} 𝑢_{2} - 2 𝑢_{2} 𝑢_{3} - 2 𝑢_{3} 𝑢_{1} \end{aligned}

とおく、このとき6つの実数 $𝑢_{1}, 𝑢_{2}, 𝑢_{3}, 𝑣_{1}, 𝑣_{2}, 𝑣_{3}$ に対して、

𝐸 (𝑢_{1}, 𝑣_{2}, 𝑣_{3}) + 𝐸 (𝑣_{1}, 𝑢_{2}, 𝑣_{3}) + 𝐸 (𝑣_{1}, 𝑣_{2}, 𝑢_{3}) \geq \frac{3}{5} 𝐸 (𝑢_{1}, 𝑢_{2}, 𝑢_{3})

が成り立つことを示す。

左辺を $𝐸$ とおいて $𝑣_{1}, 𝑣_{2}, 𝑣_{3}$ についての二次式とみなすことで

𝐸 = (\begin{matrix} 4 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 4 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 4 \end{matrix}) (\begin{matrix} 𝑣_{1} \\ 𝑣_{2} \\ 𝑣_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 𝑣_{1} \\ 𝑣_{2} \\ 𝑣_{3} \end{matrix}) - 2 (\begin{matrix} 𝑢_{2} + 𝑢_{3} \\ 𝑢_{3} + 𝑢_{1} \\ 𝑢_{1} + 𝑢_{2} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 𝑣_{1} \\ 𝑣_{2} \\ 𝑣_{3} \end{matrix}) + 2 (𝑢_{1}^{2} + 𝑢_{2}^{2} + 𝑢_{3}^{2}) .

ここで $𝐴 = (\begin{matrix} 4 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 4 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 4 \end{matrix})$ の逆行列の計算が必要になり、掃き出し法を実行してもよいが、ここでは以下のように考えてみよう。つまり、 $𝑋 = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix})$ とおくと、 $𝐴 = 5 𝐼 - 𝑋$ で $𝑋^{2} = 3 𝑋$ なので $𝐴^{2} - 7 𝐴 + 10 𝐼 = 𝑂$ 、つまり

𝐴^{- 1} = - \frac{1}{10} (𝐴 - 7 𝐼) = \frac{1}{10} (2 𝐼 + 𝑋)

がわかる。また、 $𝐴$ は正定値であることに注意する。ここで $𝒖 = (\begin{matrix} 𝑢_{1} \\ 𝑢_{2} \\ 𝑢_{3} \end{matrix})$ , $𝒗 = (\begin{matrix} 𝑣_{1} \\ 𝑣_{2} \\ 𝑣_{3} \end{matrix})$ とおくと、

𝐸 = 𝐴 𝒗 \cdot 𝒗 - 2 (𝑋 - 𝐼) 𝒖 \cdot 𝒗 + 2 {‖ 𝒖 ‖}^{2} .

平方完成して、 $𝐴$ は正定値であることから

𝐸 \geq 2 {‖ 𝒖 ‖}^{2} - 𝐴^{- 1} (𝑋 - 𝐼) 𝒖 \cdot (𝑋 - 𝐼) 𝒖

である。ここで

(𝑋 - 𝐼) 𝐴^{- 1} (𝑋 - 𝐼) = \frac{1}{10} (𝑋 - 𝐼) (2 𝐼 + 𝑋) (𝑋 - 𝐼) = \frac{1}{5} (3 𝑋 + 𝐼)

なので、

\begin{aligned} 𝐸 & = 𝐸 (𝑢_{1}, 𝑣_{2}, 𝑣_{3}) + 𝐸 (𝑣_{1}, 𝑢_{2}, 𝑣_{3}) + 𝐸 (𝑣_{1}, 𝑣_{2}, 𝑢_{3}) \\ \geq \frac{1}{5} (9 𝐼 - 3 𝑋) 𝒖 \cdot 𝒖 = \frac{3}{5} 𝐸 (𝑢_{1}, 𝑢_{2}, 𝑢_{3}) \end{aligned}

が得られる。