数列

数列の導入

数列とは数の並びのこと全般をいうが、ここでは順序を持ち無限に続くものをいう。 そのため順序を表現するため添字として自然数あるいはある整数以上の整数を用いる。 つまり数列とは各自然数$𝑛\in \mathbb{N}$に対して一つの数${𝑎}_{𝑛}$を対応させたものつまり$\mathbb{N}$から数への写像であり${\left({𝑎}_{𝑛}\right)}_{𝑛\in \mathbb{N}}$や一部省略して${\left({𝑎}_{𝑛}\right)}_{𝑛}$あるいは$\left({𝑎}_{𝑛}\right)$と表す。 また、最初の添字を明示したい場合は${\left({𝑎}_{𝑛}\right)}_{𝑛=0}^{\infty }$などとも表す。 数列の中でも数が入るクラスに応じて、各${𝑎}_{𝑛}$が実数ならば$\left({𝑎}_{𝑛}\right)$は実数列、有理数ならば有理数列、整数ならば整数列、自然数ならば自然数列、拡大実数なら拡大実数列、複素数ならば複素数列という。 このテキストでは特に指定がなければ数列といったら複素数列である。

例 1

${\left(2𝑛\right)}_{𝑛=0}^{\infty }$, ${\left(5^{𝑛}\right)}_{𝑛=0}^{\infty }$, ${\left(3\right)}_{𝑛=0}^{\infty }$, ${\left(\frac{1}{𝑛}\right)}_{𝑛=1}^{\infty }$などは（実）数列である（最初の3つは自然数列でもある）。

床・天井と剰余付き除法

この節で導入する床や天井、あるいは剰余付き除法は実数と整数を結びつける意味で重要である。

まず、次の命題を準備する。

命題 1

実数$𝑎$に対して、$𝑥\le 𝑎\le 𝑦$を満たす整数$𝑥$, $𝑦$が存在する。

証明

$𝑦$の存在を示す。 また、$𝑎\le 0$のときは$𝑦=0$とすればよいので、$𝑎$が正のときを考える。 ここで、有理数の稠密性（<t_dense_rational>）より、$0<𝑎<{𝑦}^{\prime }<𝑎+1$を満たす有理数${𝑦}^{\prime }$が存在する。 この正の有理数${𝑦}^{\prime }$は正の整数$𝑛$と$𝑚$を使って${𝑦}^{\prime }=𝑛/𝑚$と表現できるため、 $0<𝑎<𝑛/𝑚\le 𝑛$が成り立ち、$𝑦=𝑛$とすればよい。 $𝑥$の存在も同様であるが、反数$-𝑎$に対して上の議論を適用して得られる$𝑦$の反数を取ればよい。

実数$𝑎$を正の実数$𝑏$で割ったときの剰余付き除法について、上の命題から実数$𝑎/𝑏$以下の整数の集合は上に有界で空でないので最大元$𝑞$が存在しそれを商とする。 また、$𝑟=𝑎-𝑞𝑏$を剰余とする。 これにより、実数$𝑎$を正の実数$𝑏$で割ったときの剰余付き除法の商$𝑞$と剰余$𝑟$が定義され、

$$𝑎=𝑞𝑏+𝑟,0\le 𝑟<𝑏$$

を満たす整数$𝑞$と実数$𝑟$である。

また、実数$𝑎$に対して命題 1 から$𝑎$以下の整数の集合に最大元が存在しそれを$𝑎$の床といい$\lfloor 𝑎\rfloor$で表す。 つまり、

$$\lfloor 𝑎\rfloor =max\left\{𝑛\in \mathbb{Z}|𝑛\le 𝑎\right\}$$

である。 $𝑎$の床$\lfloor 𝑎\rfloor$は$𝑎$を$1$で剰余付き除法をした時の商に他ならない。 $𝑎$の床$\lfloor 𝑎\rfloor \in \mathbb{Z}$を$𝑎$の整数部分とも言い、残りの部分$𝑎-\lfloor 𝑎\rfloor \in [0,1)$を$𝑎$の小数部分という。

同様にして、実数$𝑎$に対して命題 1 から$𝑎$以上の整数の集合に最小元が存在しそれを$𝑎$の天井といい$\lceil 𝑎\rceil$で表す。 つまり、

$$\lceil 𝑎\rceil =min\left\{𝑛\in \mathbb{Z}|𝑛\ge 𝑎\right\}$$

である。

累乗と負べき・整数べき

複素数$𝑎$と自然数$𝑛=0,1,2,3,\dots$に対して、 $1$に$𝑎$を$𝑛$回かけて得られる複素数を$𝑎$の$𝑛$乗といい、${𝑎}^{𝑛}$と表す。 このような数を累乗という。 ${𝑎}^0$はこの定義によれば$𝑎$によらず$1$である。 ${𝑎}^{𝑏}$という表現は今後様々な$𝑎$, $𝑏$の場合に拡張されるが、定義される数の範囲が変わることがあることに注意する。 $𝑎$が自然数の時は${𝑎}^{𝑛}$も自然数で、$𝑎$が整数の時は${𝑎}^{𝑛}$も整数、$𝑎$が有理数の時は${𝑎}^{𝑛}$も有理数、$𝑎$が実数の時は${𝑎}^{𝑛}$も実数である。

累乗の性質として指数法則と呼ばれる以下のものがある。

命題 1 (累乗の指数法則)

1. 任意の複素数$𝑎$と自然数$𝑚,𝑛$に対して${𝑎}^{𝑚+𝑛}={𝑎}^{𝑚}{𝑎}^{𝑛}$が成り立つ。
2. 任意の複素数$𝑎$と自然数$𝑚,𝑛$に対して${\left({𝑎}^{𝑚}\right)}^{𝑛}={𝑎}^{𝑚𝑛}$が成り立つ。
3. 任意の複素数$𝑎,𝑏$と自然数$𝑛$に対して${\left(𝑎𝑏\right)}^{𝑛}={𝑎}^{𝑛}{𝑏}^{𝑛}$が成り立つ。

累乗は逆数と強い関係があり次のことが成り立つ。

命題 2 (累乗と逆数)

任意の$0$でない複素数$𝑎$と自然数$𝑛=0,1,2,3,\dots$に対して累乗${𝑎}^{𝑛}$は$0$でなく、

$${\left({𝑎}^{𝑛}\right)}^{-1}={\left({𝑎}^{-1}\right)}^{𝑛}$$

が成り立つ。

証明

逆数の定義より示すべきことは${𝑎}^{𝑛}{\left({𝑎}^{-1}\right)}^{𝑛}=1$であり、 このことは三つ目の指数法則からすぐわかる。

この値${\left({𝑎}^{𝑛}\right)}^{-1}={\left({𝑎}^{-1}\right)}^{𝑛}$は二つ目の指数法則から、負の自然数$-𝑛$を指数とする累乗${𝑎}^{-𝑛}$と考えるのが自然である。 したがって、任意の$0$でない複素数$𝑎$と自然数$𝑛$に対して負の整数べきあるいは負べき

$${𝑎}^{-𝑛}={\left({𝑎}^{𝑛}\right)}^{-1}$$

を定義する。 さらに整数$𝑛$に対して整数べきを

$${𝑎}^{𝑛}=\{\begin{array}{cc}{𝑎}^{𝑛}& \left(𝑛\ge 0\right)\\ {𝑎}^{-𝑛}& \left(𝑛<0\right)\end{array}$$

として定義する。 ${𝑎}^{-0}={𝑎}^0=1$に注意する。

指数法則は整数べきにも次のように拡張される。

命題 3 (整数べきの指数法則)

1. 任意の$0$でない複素数$𝑎$と整数$𝑚,𝑛$に対して${𝑎}^{𝑚+𝑛}={𝑎}^{𝑚}{𝑎}^{𝑛}$が成り立つ。
2. 任意の$0$でない複素数$𝑎$と整数$𝑚,𝑛$に対して${\left({𝑎}^{𝑚}\right)}^{𝑛}={𝑎}^{𝑚𝑛}$が成り立つ。
3. 任意の$0$でない複素数$𝑎,𝑏$と整数$𝑛$に対して${\left(𝑎𝑏\right)}^{𝑛}={𝑎}^{𝑛}{𝑏}^{𝑛}$が成り立つ。

このような指数部分の拡張に関しては後のべき関数の項で詳しく説明する。

総和と総乗

$𝑀$, $𝑁$を$𝑀\le 𝑁$を満たす整数として$𝑁-𝑀+1$個（$𝑁-𝑀+1$は$1$以上の自然数になる）の数${𝑎}_{𝑀},\dots ,{𝑎}_{𝑁}$の和について考える。 $0$に${𝑎}_{𝑀},\dots ,{𝑎}_{𝑁}$を順番に足して得られる数を${𝑎}_{𝑀},\dots ,{𝑎}_{𝑁}$の総和といい、${\sum }_{𝑛=𝑀}^{𝑁}{𝑎}_{𝑛}$と表す。 つまり、

$$\sum _{𝑛=𝑀}^{𝑁}{𝑎}_{𝑛}={𝑎}_{𝑀}+\dots +{𝑎}_{𝑁}$$

である。 実際には加法の結合法則と交換法則より足す順番は関係ない。

命題 1

数${𝑎}_{𝑀},\dots {𝑎}_{𝑁}$が数${𝑏}_{𝑀},\dots ,{𝑏}_{𝑁+1}$を使って${𝑎}_{𝑛}={𝑏}_{𝑛+1}-{𝑏}_{𝑛}$と表されたとすると

$$\sum _{𝑛=𝑀}^{𝑁}{𝑎}_{𝑛}=\sum _{𝑛=𝑀}^{𝑁}\left({𝑏}_{𝑛+1}-{𝑏}_{𝑛}\right)={𝑏}_{𝑁+1}-{𝑏}_{𝑀}$$

が成り立つ。

いくつかの特別な数の和が計算できることが知られている。

命題 2 (和の公式)

$𝑁=1,2,3,\dots$に対して

$$\sum _{𝑛=1}^{𝑁}1=𝑁,\sum _{𝑛=1}^{𝑁}𝑛=\frac{1}{2}𝑁\left(𝑁+1\right),\sum _{𝑛=1}^{𝑁}{𝑛}^2=\frac{1}{6}𝑁\left(𝑁+1\right)\left(2𝑁+1\right),\sum _{𝑛=1}^{𝑁}{𝑛}^3=\frac{1}{4}{𝑁}^2{\left(𝑁+1\right)}^2$$

が成り立つ。 また、$𝑐$を$1$でない数とする時、$𝑀\le 𝑁$なる整数$𝑀,𝑁$に対して

$$\sum _{𝑛=𝑀}^{𝑁}{𝑐}^{𝑛}=\frac{{𝑐}^{𝑁+1}-{𝑐}^{𝑀}}{𝑐-1}$$

が成り立つ。

また、後で使う次の式もここで紹介する。

命題 3 (部分和分)

数${𝑎}_{𝑀},\dots {𝑎}_{𝑁+1}$と${𝑏}_{𝑀},\dots ,{𝑏}_{𝑁+1}$に対して

$$\sum _{𝑛=𝑀}^{𝑁}{𝑎}_{𝑛}\left({𝑏}_{𝑛+1}-{𝑏}_{𝑛}\right)={𝑎}_{𝑁+1}{𝑏}_{𝑁+1}-{𝑎}_{𝑀}{𝑏}_{𝑀}-\sum _{𝑛=𝑀}^{𝑁}\left({𝑎}_{𝑛+1}-{𝑎}_{𝑛}\right){𝑏}_{𝑛+1}$$

が成り立つ。

この式は定積分でいうところの部分積分に相当するものである。

証明

和の中身を計算すると

$${𝑎}_{𝑛}\left({𝑏}_{𝑛+1}-{𝑏}_{𝑛}\right)+\left({𝑎}_{𝑛+1}-{𝑎}_{𝑛}\right){𝑏}_{𝑛+1}={𝑎}_{𝑛+1}{𝑏}_{𝑛+1}-{𝑎}_{𝑛}{𝑏}_{𝑛}$$

なので、

$$\sum _{𝑛=𝑀}^{𝑁}{𝑎}_{𝑛}\left({𝑏}_{𝑛+1}-{𝑏}_{𝑛}\right)+\sum _{𝑛=𝑀}^{𝑁}\left({𝑎}_{𝑛+1}-{𝑎}_{𝑛}\right){𝑏}_{𝑛+1}=\sum _{𝑛=𝑀}^{𝑁}\left({𝑎}_{𝑛+1}{𝑏}_{𝑛+1}-{𝑎}_{𝑛}{𝑏}_{𝑛}\right)={𝑎}_{𝑁+1}{𝑏}_{𝑁+1}-{𝑎}_{𝑀}{𝑏}_{𝑀}.$$

よって、ほしい式が得られる。

$𝑀$, $𝑁$を$𝑀\le 𝑁$を満たす整数として$𝑁-𝑀+1$個の数${𝑎}_{𝑀},\dots ,{𝑎}_{𝑁}$の積について考える。 $1$に${𝑎}_{𝑀},\dots ,{𝑎}_{𝑁}$を順番にかけて得られる数を${𝑎}_{𝑀},\dots ,{𝑎}_{𝑁}$の総乗といい、${\prod }_{𝑛=𝑀}^{𝑁}{𝑎}_{𝑛}$と表す。 つまり、

$$\prod _{𝑛=𝑀}^{𝑁}{𝑎}_{𝑛}={𝑎}_{𝑀}\times \dots \times {𝑎}_{𝑁}$$

である。 実際には乗法の結合法則と交換法則よりかける順番は関係ない。

$𝑛$を$1$以上の自然数として$1,\dots ,𝑛$の総乗を$𝑛$の階乗といい、$𝑛!$と表す。 $𝑛=0$の時は$𝑛!=1$と約束する。 この時、任意の自然数$𝑛$に対して$\left(𝑛+1\right)!=\left(𝑛+1\right)\times 𝑛!$が成立する。

二項定理

自然数$𝑛$, $𝑘$を$𝑘\le 𝑛$をみたす、つまり$𝑛-𝑘$が自然数となるとする。 この時、次の数$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{𝑛}{𝑘}\right)$を二項係数という。

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{𝑛}{𝑘}\right)=\frac{𝑛!}{𝑘!\left(𝑛-𝑘\right)!}.$$

定義に除法が用いられているが二項係数は常に自然数であることが知られている。

例 1

自然数$𝑛=0,1,2,3,\dots$に対して

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{𝑛}{0}\right)=1,\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{𝑛}{1}\right)=𝑛,\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{𝑛}{2}\right)=\frac{1}{2}𝑛\left(𝑛-1\right)$$

である。

二項係数は二項定理を表現するのに用いられる。

命題 2 (二項定理)

複素数$𝑎$, $𝑏$と自然数$𝑛=0,1,2,3,\dots$に対して、

$${\left(𝑎+𝑏\right)}^{𝑛}=\sum _{𝑘=0}^{𝑛}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{𝑛}{𝑘}\right){𝑎}^{𝑘}{𝑏}^{𝑛-𝑘}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{𝑛}{0}\right){𝑏}^{𝑛}+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{𝑛}{1}\right)𝑎{𝑏}^{𝑛-1}+\dots +\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{𝑛}{𝑛-1}\right){𝑎}^{𝑛-1}𝑏+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{𝑛}{𝑛}\right){𝑎}^{𝑛}.$$

が成り立つ。