積分の極限

ディニの定理

定理 1 (ディニの定理)

$𝑁$次元点集合$𝑋$を有界閉集合とし、${𝑓}_{𝑛}$を$𝑋$上の関数列で単調増加し$𝑓$に各点収束するとする。 ここで、各${𝑓}_{𝑛}$と$𝑓$が$𝑋$上の連続関数であるとするならば、${𝑓}_{𝑛}$は$𝑓$に一様収束する。

この定理は単調減少する関数列についても同様に成り立つ。

注意 2

この定理は$𝑋$が有界閉集合であること、${𝑓}_{𝑛}$の単調性、$𝑓$の連続性のいずれも必要である。

証明

各$𝑛$に対して$𝑓-{𝑓}_{𝑛}$は有界閉集合上の非負な連続関数なので、

$$𝑓\left({𝑎}_{𝑛}\right)-{𝑓}_{𝑛}\left({𝑎}_{𝑛}\right)=\left|{𝑓}_{𝑛}\left({𝑎}_{𝑛}\right)-𝑓\left({𝑎}_{𝑛}\right)\right|=\Vert {𝑓}_{𝑛}-𝑓\Vert$$

を満たす点${𝑎}_{𝑛}\in 𝑋$が存在する。 $𝑋$は有界閉集合より、部分列${𝑛}_{𝑘}$に対して部分列${𝑛}_{{𝑘}_{𝑙}}$が存在して、$𝑎\left({𝑛}_{{𝑘}_{𝑙}}\right)$は$𝑋$上のある点$𝑎$に収束する。 このとき、

$$\underset{𝑛}{lim\hspace{0.17em}sup}\Vert {𝑓}_{𝑛}-𝑓\Vert =\underset{𝑙}{lim}\Vert {𝑓}_{{𝑛}_{{𝑘}_{𝑙}}}-𝑓\Vert =\underset{𝑙}{lim}\left[𝑓\left({𝑎}_{{𝑛}_{{𝑘}_{𝑙}}}\right)-{𝑓}_{{𝑛}_{{𝑘}_{𝑙}}}\left({𝑎}_{{𝑛}_{{𝑘}_{𝑙}}}\right)\right]$$

である。 ここで${𝑓}_{𝑛}$は単調増加なので$𝑛$を固定するとごとに$𝑙$を十分大きく取れば

$$𝑓\left({𝑎}_{{𝑛}_{{𝑘}_{𝑙}}}\right)-{𝑓}_{{𝑛}_{{𝑘}_{𝑙}}}\left({𝑎}_{{𝑛}_{{𝑘}_{𝑙}}}\right)\le 𝑓\left({𝑎}_{{𝑛}_{{𝑘}_{𝑙}}}\right)-{𝑓}_{𝑛}\left({𝑎}_{{𝑛}_{{𝑘}_{𝑙}}}\right)$$

なので、$𝑙$についての極限を取ってから$𝑛$についての極限を取ると

$$\underset{𝑛}{lim\hspace{0.17em}sup}\Vert {𝑓}_{𝑛}-𝑓\Vert \le 𝑓\left(𝑎\right)-{𝑓}_{𝑛}\left(𝑎\right)\to 0$$

でこれは一様収束を意味する。

アルツェラの有界収束定理

定理 1 (アルツェラの有界収束定理)

$𝐷$を面積確定有界閉集合として、${𝑓}_{𝑛}$を$𝐷$上の連続関数の列であって連続関数$𝑓$に各点収束するとする。 ここで$𝑀<\infty$が存在してすべての$𝑛$に対して

$$\Vert {𝑓}_{𝑛}-𝑓\Vert =\underset{𝑥\in 𝐷}{sup}\left|{𝑓}_{𝑛}\left(𝑥\right)-𝑓\left(𝑥\right)\right|\le 𝑀$$

が成り立つならば、

$${\int }_{𝐷}{𝑓}_{𝑛}\left(𝑥\right)\mathrm{d}𝑥\to {\int }_{𝐷}𝑓\left(𝑥\right)\mathrm{d}𝑥$$

が成り立つ。

リーマン・ルベーグの補題

定理 1 (リーマン・ルベーグの補題)

$𝑓$を有界閉区間$\left[𝑎,𝑏\right]$を含む開区間上の${𝐶}^1$級関数とする。 この時、$𝑛=1,2,3,\dots$として

$$\underset{𝑛\to \infty }{lim}{\int }_{𝑎}^{𝑏}𝑓\left(𝑥\right)cos𝑛𝑥\mathrm{d}𝑥=\underset{𝑛\to \infty }{lim}{\int }_{𝑎}^{𝑏}𝑓\left(𝑥\right)sin𝑛𝑥\mathrm{d}𝑥=0$$

が成り立つ。

証明

$cos$について示す。 部分積分により

$${\int }_{𝑎}^{𝑏}𝑓\left(𝑥\right)cos𝑛𝑥\mathrm{d}𝑥={\int }_{𝑎}^{𝑏}𝑓\left(𝑥\right){\left(\frac{1}{𝑛}sin𝑛𝑥\right)}^{\prime }\mathrm{d}𝑥=\frac{1}{𝑛}𝑓\left(𝑥\right){\left[sin𝑛𝑥\right]}_{𝑎}^{𝑏}-\frac{1}{𝑛}{\int }_{𝑎}^{𝑏}{𝑓}^{\prime }\left(𝑥\right)sin𝑛𝑥\mathrm{d}𝑥.$$

よって、$𝑛\to \infty$で

$$\left|{\int }_{𝑎}^{𝑏}𝑓\left(𝑥\right)cos𝑛𝑥\mathrm{d}𝑥-0\right|\le \frac{1}{𝑛}\left|𝑓\left(𝑏\right)\right|+\frac{1}{𝑛}\left|𝑓\left(𝑎\right)\right|+\frac{1}{𝑛}{\int }_{𝑎}^{𝑏}\left|{𝑓}^{\prime }\left(𝑥\right)\right|\mathrm{d}𝑥\to 0$$

なので、定理の等式を得る。 $sin$の式も同様なので詳細は省略する。

周期関数の積分

定理 1 (周期関数の積分)

$\left[𝑎,𝑏\right]$を有界閉区間として、$𝑓\left(𝑥,𝑦\right)$を$\left[𝑎,𝑏\right]\times ℝ$上の連続関数であって$𝑦$について周期$𝐿>0$を持つ、 つまり

$$𝑓\left(𝑥,𝑦+𝐿\right)=𝑓\left(𝑥,𝑦\right)$$

が成り立つものとする。 この時、$𝜀>0$や$𝑛=1,2,3,\dots$として

$$\underset{𝜀\to 0}{lim}{\int }_{𝑎}^{𝑏}𝑓\left(𝑥,\frac{𝑥}{𝜀}\right)\mathrm{d}𝑥=\underset{𝑛\to \infty }{lim}{\int }_{𝑎}^{𝑏}𝑓\left(𝑥,𝑛𝑥\right)\mathrm{d}𝑥={\int }_{𝑎}^{𝑏}\frac{1}{𝐿}{\int }_0^{𝐿}𝑓\left(𝑥,𝑦\right)\mathrm{d}𝑦\mathrm{d}𝑥$$

が成り立つ。 特に連続関数$𝑓\left(𝑥\right)𝑔\left(𝑦\right)$に対しては

$$\underset{𝜀\to 0}{lim}{\int }_{𝑎}^{𝑏}𝑓\left(𝑥\right)𝑔\left(\frac{𝑥}{𝜀}\right)\mathrm{d}𝑥=\underset{𝑛\to \infty }{lim}{\int }_{𝑎}^{𝑏}𝑓\left(𝑥\right)𝑔\left(𝑛𝑥\right)\mathrm{d}𝑥={\int }_{𝑎}^{𝑏}𝑓\left(𝑥\right)\mathrm{d}𝑥\frac{1}{𝐿}{\int }_0^{𝐿}𝑔\left(𝑦\right)\mathrm{d}𝑦$$

が成り立つ。

注意 2

この定理は容易に多次元化される。

証明

まず、$𝐿=1$の時のみ考えれば十分なことを示す。 実際、$𝑓\left(𝑥,𝑦\right)$が$𝑦$について周期$𝐿$の時、

$$\widetilde{𝑓}\left(𝑥,𝑦\right)=𝑓\left(𝑥,𝐿𝑦\right)$$

とおくと$\widetilde{𝑓}\left(𝑥,𝑦\right)$は$𝑦$について周期$1$であり

$$\frac{1}{𝐿}{\int }_0^{𝐿}𝑓\left(𝑥,𝑦\right)\mathrm{d}𝑦=\frac{1}{𝐿}{\int }_0^1\widetilde{𝑓}\left(𝑥,\frac{𝑦}{𝐿}\right)\mathrm{d}𝑦={\int }_0^1\widetilde{𝑓}\left(𝑥,𝑦\right)\mathrm{d}𝑦$$

となる。

そのため$𝑓\left(𝑥,𝑦\right)$は$𝑦$について周期$1$として、

$$\underset{𝑛\to \infty }{lim}{\int }_{𝑎}^{𝑏}𝑓\left(𝑥,𝑛𝑥\right)\mathrm{d}𝑥={\int }_{𝑎}^{𝑏}{\int }_0^1𝑓\left(𝑥,𝑦\right)\mathrm{d}𝑦\mathrm{d}𝑥$$

を示す（$𝜀$の方は同様に示されるので詳細は省略する）。 $𝑦=𝑛𝑥$と置換すると

$${\int }_{𝑎}^{𝑏}𝑓\left(𝑥,𝑛𝑥\right)\mathrm{d}𝑥=\frac{1}{𝑛}{\int }_{𝑎𝑛}^{𝑏𝑛}𝑓\left(\frac{𝑦}{𝑛},𝑦\right)\mathrm{d}𝑦$$

である。 ここで積分区間$\left[𝑎𝑛,𝑏𝑛\right]$からできるだけ多くの周期$1$の部分を取り出すことをする。 $\left[𝑎𝑛\right]$を$𝑎𝑛$と$𝑏𝑛$の間の整数で最も$𝑎𝑛$に近いものとし、 $\left[𝑏𝑛\right]$を$𝑎𝑛$と$𝑏𝑛$の間の整数で最も$𝑏𝑛$に近いものとする。 ただし、そのような整数が存在することが問題になるが、$𝑎=𝑏$の場合は積分が$0$になるので等式が言えて$𝑎\ne 𝑏$の場合は$𝑛$を十分大きく取ればよい。 $\left|𝑎𝑛-\left[𝑎𝑛\right]\right|\le 1$, $\left|𝑏𝑛-\left[𝑏𝑛\right]\right|\le 1$に注意する。 この時、

$${\int }_{𝑎}^{𝑏}𝑓\left(𝑥,𝑛𝑥\right)\mathrm{d}𝑥=\frac{1}{𝑛}{\int }_{𝑎𝑛}^{\left[𝑎𝑛\right]}𝑓\left(\frac{𝑦}{𝑛},𝑦\right)\mathrm{d}𝑦+\frac{1}{𝑛}{\int }_{\left[𝑎𝑛\right]}^{\left[𝑏𝑛\right]}𝑓\left(\frac{𝑦}{𝑛},𝑦\right)\mathrm{d}𝑦+\frac{1}{𝑛}{\int }_{\left[𝑏𝑛\right]}^{𝑏𝑛}𝑓\left(\frac{𝑦}{𝑛},𝑦\right)\mathrm{d}𝑦$$

で、右辺の最初と最後の項は$𝑓$が有界閉矩形上の連続関数より有界であることから

$$\left|\frac{1}{𝑛}{\int }_{𝑎𝑛}^{\left[𝑎𝑛\right]}𝑓\left(\frac{𝑦}{𝑛},𝑦\right)\mathrm{d}𝑦\right|\le \frac{1}{𝑛}{\int }_{𝑎𝑛}^{\left[𝑎𝑛\right]}sup\left|𝑓\left(\frac{𝑦}{𝑛},𝑦\right)\right|\mathrm{d}𝑦\le \frac{1}{𝑛}sup\left|𝑓\right|\to 0$$

となる。 真ん中の項を変形すると

$$\frac{1}{𝑛}{\int }_{\left[𝑎𝑛\right]}^{\left[𝑏𝑛\right]}𝑓\left(\frac{𝑦}{𝑛},𝑦\right)\mathrm{d}𝑦=\frac{1}{𝑛}\sum _{𝑘=\left[𝑎𝑛\right]+1}^{\left[𝑏𝑛\right]}{\int }_{𝑘-1}^{𝑘}𝑓\left(\frac{𝑦}{𝑛},𝑦\right)\mathrm{d}𝑦=\frac{1}{𝑛}\sum _{𝑘=\left[𝑎𝑛\right]+1}^{\left[𝑏𝑛\right]}{\int }_0^1𝑓\left(\frac{𝑦+𝑘-1}{𝑛},𝑦+𝑘-1\right)\mathrm{d}𝑦$$

で、$𝑓\left(𝑥,𝑦\right)$は$𝑦$について周期$1$なので、

$$\frac{1}{𝑛}{\int }_{\left[𝑎𝑛\right]}^{\left[𝑏𝑛\right]}𝑓\left(\frac{𝑦}{𝑛},𝑦\right)\mathrm{d}𝑦={\int }_0^1\frac{1}{𝑛}\sum _{𝑘=\left[𝑎𝑛\right]+1}^{\left[𝑏𝑛\right]}𝑓\left(\frac{𝑘-1+𝑦}{𝑛},𝑦\right)\mathrm{d}𝑦$$

となる。

ここで最右辺の被積分関数は$𝑦$を固定するごとに定積分${\int }_{𝑎}^{𝑏}𝑓\left(𝑥,𝑦\right)\mathrm{d}𝑥$のリーマン和になっているので、区分求積法により$𝑛\to \infty$で積分に収束することを言いたいがそのためにこの収束が$𝑦$について一様収束になっていることを示す。 $0\le 𝑦\le 1$に対して定積分${\int }_{𝑎}^{𝑏}𝑓\left(𝑥,𝑦\right)\mathrm{d}𝑥$の方を変形すると

$${\int }_{𝑎}^{𝑏}𝑓\left(𝑥,𝑦\right)\mathrm{d}𝑥={\int }_{𝑎}^{\frac{\left[𝑎𝑛\right]}{𝑛}}𝑓\left(𝑥,𝑦\right)\mathrm{d}𝑥+{\int }_{\frac{\left[𝑎𝑛\right]}{𝑛}}^{\frac{\left[𝑏𝑛\right]}{𝑛}}𝑓\left(𝑥,𝑦\right)\mathrm{d}𝑥+{\int }_{\frac{\left[𝑏𝑛\right]}{𝑛}}^{𝑏}𝑓\left(𝑥,𝑦\right)\mathrm{d}𝑥$$

で、

$$\left|{\int }_{𝑎}^{\frac{\left[𝑎𝑛\right]}{𝑛}}𝑓\left(𝑥,𝑦\right)\mathrm{d}𝑥\right|\le {\int }_{𝑎}^{\frac{\left[𝑎𝑛\right]}{𝑛}}sup\left|𝑓\right|\mathrm{d}𝑥\le \frac{1}{𝑛}sup\left|𝑓\right|\to 0$$

である。 ここで

$${\int }_{\frac{\left[𝑎𝑛\right]}{𝑛}}^{\frac{\left[𝑏𝑛\right]}{𝑛}}𝑓\left(𝑥,𝑦\right)\mathrm{d}𝑥=\sum _{𝑘=\left[𝑎𝑛\right]+1}^{\left[𝑏𝑛\right]}{\int }_{\frac{𝑘-1}{𝑛}}^{\frac{𝑘}{𝑛}}𝑓\left(𝑥,𝑦\right)\mathrm{d}𝑥$$

であり、$𝑓$は有界閉矩形上の連続関数より一様連続で連続性の度合い$𝜔$があるので、

$$\begin{array}{cc}& \left|\frac{1}{𝑛}\sum _{𝑘=\left[𝑎𝑛\right]+1}^{\left[𝑏𝑛\right]}𝑓\left(\frac{𝑘-1+𝑦}{𝑛},𝑦\right)-\sum _{𝑘=\left[𝑎𝑛\right]+1}^{\left[𝑏𝑛\right]}{\int }_{\frac{𝑘-1}{𝑛}}^{\frac{𝑘}{𝑛}}𝑓\left(𝑥,𝑦\right)\mathrm{d}𝑥\right|\\ & \le \sum _{𝑘=\left[𝑎𝑛\right]+1}^{\left[𝑏𝑛\right]}\left|\frac{1}{𝑛}𝑓\left(\frac{𝑘-1+𝑦}{𝑛},𝑦\right)-{\int }_{\frac{𝑘-1}{𝑛}}^{\frac{𝑘}{𝑛}}𝑓\left(𝑥,𝑦\right)\mathrm{d}𝑥\right|\le \sum _{𝑘=\left[𝑎𝑛\right]+1}^{\left[𝑏𝑛\right]}{\int }_{\frac{𝑘-1}{𝑛}}^{\frac{𝑘}{𝑛}}\left|𝑓\left(𝑥,𝑦\right)-𝑓\left(\frac{𝑘-1+𝑦}{𝑛},𝑦\right)\right|\mathrm{d}𝑥\\ & \le \sum _{𝑘=\left[𝑎𝑛\right]+1}^{\left[𝑏𝑛\right]}{\int }_{\frac{𝑘-1}{𝑛}}^{\frac{𝑘}{𝑛}}𝜔\left(\left|𝑥-\frac{𝑘-1+𝑦}{𝑛}\right|\right)\mathrm{d}𝑥\le \sum _{𝑘=\left[𝑎𝑛\right]+1}^{\left[𝑏𝑛\right]}{\int }_{\frac{𝑘-1}{𝑛}}^{\frac{𝑘}{𝑛}}𝜔\left({𝑛}^{-1}\right)\mathrm{d}𝑥\le \frac{\left[𝑏𝑛\right]-\left[𝑎𝑛\right]}{𝑛}𝜔\left({𝑛}^{-1}\right)\\ & \le \left(𝑏-𝑎\right)𝜔\left({𝑛}^{-1}\right)\to 0\end{array}$$

ここから一様収束が言えるので、以上の内容をまとめると

$$\underset{𝑛\to \infty }{lim}{\int }_{𝑎}^{𝑏}𝑓\left(𝑥,𝑛𝑥\right)\mathrm{d}𝑥=\underset{𝑛\to \infty }{lim}{\int }_0^1\frac{1}{𝑛}\sum _{𝑘=\left[𝑎𝑛\right]+1}^{\left[𝑏𝑛\right]}𝑓\left(\frac{𝑘-1+𝑦}{𝑛},𝑦\right)\mathrm{d}𝑦={\int }_0^1{\int }_{𝑎}^{𝑏}𝑓\left(𝑥,𝑦\right)\mathrm{d}𝑥\mathrm{d}𝑦$$

であり、 $𝑓\left(𝑥,𝑦\right)$は$\left[𝑎,𝑏\right]\times \left[0,1\right]$上積分可能なので積分の順序交換をして、定理の等式を得る。