組

組と直積

$𝑁$ 個の集合 $𝑋_{1}, \dots, 𝑋_{𝑁}$ を考える( $𝑁 = 1, 2, 3, \dots$ )。それぞれの集合から元 $𝑥_{1} \in 𝑋_{1}, \dots, 𝑥_{𝑁} \in 𝑋_{𝑁}$ を取り出し、この順に並べた $(𝑥_{1}, \dots, 𝑥_{𝑁})$ を $𝑥_{1}, \dots, 𝑥_{𝑁}$ の順序組あるいは単に組という。特に $𝑁 = 2$ のときは組の代わりに対と呼ぶことがある。

二つの組 $(𝑥_{1}, \dots, 𝑥_{𝑁})$ と $(𝑦_{1}, \dots, 𝑦_{𝑁})$ が等しいのは $𝑥_{1} = 𝑦_{1}$ から $𝑥_{𝑁} = 𝑦_{𝑁}$ のすべてが成り立つ場合である。ここに順序を無視する集合の外延記法 ${𝑥_{1}, \dots, 𝑥_{𝑁}}$ と組 $(𝑥_{1}, \dots, 𝑥_{𝑁})$ の大きな違いがある。一方で数列の記法 ${(𝑥_{𝑛})}_{𝑛}$ も組 $(𝑥_{1}, \dots, 𝑥_{𝑁})$ と同様に順序を持つので同じ丸かっこを使って表現されるが、数列の各元は同一の集合の元であるのに対して、組の集合は $𝑋_{1}$ から $𝑋_{𝑁}$ の中で異なるものがあっても許されているという違いがある。

組 $(𝑥_{1}, \dots, 𝑥_{𝑁})$ 全体からなる集合を $𝑋_{1}, \dots, 𝑋_{𝑁}$ の直積といい $𝑋_{1} \times \dots \times 𝑋_{𝑁}$ と表す。「積」と呼ばれるのは元の個数を考えると、 $𝑋_{1}, \dots, 𝑋_{𝑁}$ が有限集合でそれぞれ $𝑚_{1}, \dots, 𝑚_{𝑁}$ 個の元からなる場合 $𝑋_{1} \times \dots \times 𝑋_{𝑁}$ も有限集合で元の個数は積 $𝑚_{1} \times \dots \times 𝑚_{𝑁}$ になることによる。

各集合 $𝑋_{1}, \dots, 𝑋_{𝑁}$ が同一の集合 $𝑋$ であるとき、それらの直積 $𝑋_{1} \times \dots \times 𝑋_{𝑁} = 𝑋 \times \dots \times 𝑋$ を簡単に $𝑋^{𝑁}$ と表すことにする。また、 $𝑁 = 1$ のときの $𝑋^{1}$ は $𝑋$ と同一視する。

多変数写像

$𝑋_{1}, \dots 𝑋_{𝑁}, 𝑌$ を集合として、元 $𝑥_{1} \in 𝑋_{1}, \dots, 𝑥_{𝑁} \in 𝑋_{𝑁}$ に対して $𝑌$ の一つの元 $𝑦$ が対応する場合、この対応（写像）のことを多変数写像という。多変数写像を

𝐹 : 𝑋_{1} \times \dots \times 𝑋_{𝑁} \to 𝑌

や

𝐹 : 𝑥_{1} \in 𝑋_{1}, \dots, 𝑥_{𝑁} \in 𝑋_{𝑁} \mapsto 𝑦 \in 𝑌

と表す。また、組 $(𝑥_{1}, \dots, 𝑥_{𝑁})$ に対して対応する $𝑦$ のことを $𝐹 (𝑥_{1}, \dots, 𝑥_{𝑁})$ と書き、多変数写像 $𝐹$ のことを $𝐹 (𝑥_{1}, \dots, 𝑥_{𝑁})$ や $𝑦 = 𝐹 (𝑥_{1}, \dots, 𝑥_{𝑁})$ などと書くこともある。このように多変数写像は直積や組の概念と密接な関係を持つ。より一般に直積 $𝑋_{1} \times \dots \times 𝑋_{𝑁}$ の部分集合 $𝑈$ の元から $𝑌$ の元への対応も多変数写像といい、

𝐹 : 𝑈 \to 𝑌

や

𝐹 : (𝑥_{1}, \dots, 𝑥_{𝑁}) \in 𝑈 \mapsto 𝑦 \in 𝑌

などと表す。

例 1 (射影)

単純だが基礎的な多変数写像は射影であり、 $𝑖 = 1, \dots, 𝑁$ に対して

{proj}_{𝑖} : 𝑥_{1} \in 𝑋_{1}, \dots, 𝑥_{𝑁} \in 𝑋_{𝑁} \mapsto 𝑥_{𝑖} \in 𝑋_{𝑖} .

として定義される。

写像の行き先 $𝑌$ が $ℝ$ のような数の集合の場合、写像 $𝐹$ は多変数関数と呼ばれる。その中でも $𝑁 = 2$ の二変数関数の典型例は加減乗除のような演算子である。つまり以下は二変数関数とみなすことができる。

$+ : 𝑥 \in ℝ, 𝑦 \in ℝ \mapsto 𝑥 + 𝑦 \in ℝ$ .
$- : 𝑥 \in ℝ, 𝑦 \in ℝ \mapsto 𝑥 - 𝑦 \in ℝ$ .
$\times : 𝑥 \in ℝ, 𝑦 \in ℝ \mapsto 𝑥 𝑦 \in ℝ$ .
$\div : 𝑥 \in ℝ, 𝑦 \in ℝ \ {0} \mapsto \frac{𝑥}{𝑦} \in ℝ$ .
$max : 𝑥 \in ℝ, 𝑦 \in ℝ \mapsto max {𝑥, 𝑦} \in ℝ$ .
$min : 𝑥 \in ℝ, 𝑦 \in ℝ \mapsto min {𝑥, 𝑦} \in ℝ$ .

変換

写像 $𝐹$ の中でも定義域と行き先が同じ集合 $𝑋$ であるものを $𝑋$ 上の変換という。

例 1 (極座標変換)

平面（後で導入する）上の変換 $(𝑥, 𝑦) = 𝐹 (𝑟, 𝜃)$ を

𝑥 = 𝑎 + 𝑟 cos 𝜃, 𝑦 = 𝑏 + 𝑟 sin 𝜃

で定めると、これはしばしば点 $(𝑎, 𝑏)$ を中心とする極座標変換と呼ばれる。